わたしの部屋

1.1 正弦 $\sin x$#

即角 $x$ 的对边与斜边的比值。

例如：

1.2 余弦 $\cos x$#

即角 $x$ 的邻边与斜边的比值。

例如：

1.3 正切 $\tan x$#

也可以用正弦和余弦表示：

当 $\cos x=0$（即 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$）时，$\tan x$ 没有定义。

1.4 余切 $\cot x$#

也可以用余弦和正弦表示：

当 $\sin x=0$（即 $x = k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$）时，$\cot x$ 没有定义。

1.5 正割 $\sec x$#

正割是余弦的倒数。当 $\cos x=0$ 时，$\sec x$ 没有定义。

1.6 余割 $\csc x$#

余割是正弦的倒数。当 $\sin x=0$ 时，$\csc x$ 没有定义。

倒数关系#

三个核心平方关系#

这是最基本的三角平方和公式。其余两个平方关系可以通过它直接推导得出：

将公式两边同时除以 $\cos^2 x$，得到：

将公式两边同时除以 $\sin^2 x$，得到：

3.1 反正弦 $\arcsin x$#

表示正弦值等于 $x$ 的角。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$

例如：

3.2 反余弦 $\arccos x$#

表示余弦值等于 $x$ 的角。

• 定义域：$[-1, 1]$
• 值域：$[0, \pi]$

例如：

3.3 反正切 $\arctan x$#

表示正切值等于 $x$ 的角。

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

注意：因为 $\tan\left(\pm\dfrac{\pi}{2}\right)$ 不存在，所以值域不包含端点。

例如：

3.4 反余切 $\operatorname{arccot} x$#

表示余切值等于 $x$ 的角。

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$(0, \pi)$

例如：

3.5 反正割 $\operatorname{arcsec} x$#

由于 $\sec y = \dfrac{1}{\cos y}$，所以可转化为反余弦计算：

• 定义域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
• 值域：$\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$

3.6 反余割 $\operatorname{arccsc} x$#

由于 $\csc y = \dfrac{1}{\sin y}$，所以可转化为反正弦计算：

• 定义域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
• 值域：$\left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$

经典对照示例#

• $\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} \iff \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$
• $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} \iff \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$
• $\tan \dfrac{\pi}{4}=1 \iff \arctan 1=\frac{\pi}{4}$
• $\sec \dfrac{\pi}{3}=2 \iff \operatorname{arcsec} 2=\frac{\pi}{3}$
• $\csc \dfrac{\pi}{6}=2 \iff \operatorname{arccsc} 2=\frac{\pi}{6}$

记忆规律#

可以利用余角前缀来方便记忆：

凡是以“co”开头的三角函数（余弦 $\cos x$、余切 $\cot x$、余割 $\csc x$），求导结果一定带负号。

正切函数的积分#

令 $u=\cos x$，则有 $du=-\sin x \,dx$，代入可得：

因为 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$，根据对数性质可化为：

余切函数的积分#

令 $u=\sin x$，则有 $du=\cos x \,dx$，代入可得：

利用倒数关系，它也可以写成等价形式：

正割与余割的积分#

对于正割函数，其积分为高数中非常基础的公式，建议直接熟记结论：

余割函数的积分结论为：

也可以写成等价形式：

第一类：含有 $a^2+x^2$ 的积分#

对应求导公式 $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$。

第二类：含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的积分#

对应求导公式 $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

第三类：含有 $\sqrt{x^2\pm a^2}$ 的积分#

对于此类形式，积分结果通常为对数形式：

可以合并写为：

三角函数定义及关系#

反三角函数基础性质#

其中高数积分中出现最频繁的是反正弦 $\arcsin x$ 与 反正切 $\arctan x$：

第一档：基础恒等式与求导（必须熟练）#

第二档：高频积分公式（直接记忆）#

第三档：结构特征联想（看到形式想结果）#

• $a^2+x^2 \implies$ 联想到 $\arctan$
• $\sqrt{a^2-x^2} \implies$ 联想到 $\arcsin$
• $\sqrt{x^2\pm a^2} \implies$ 联想到 $\ln$

注意：以上所有三角函数公式默认 $x$ 采用弧度制，而非角度制。