一维随机变量及其分布

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一维随机变量及其分布

2026-06-20 19:19:08

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本文按“概念 → 分布 → 常见分布 → 函数分布 → 题型”的顺序梳理一维随机变量及其分布。这一章可以理解为：上一章研究的是“事件的概率”，这一章开始把随机结果数量化，研究一个随机变量取各种数值的概率规律。

1. 什么是随机变量#

随机变量本质上是一个函数，它把随机试验的结果映射成一个实数。

记作：

X=X(\omega)

其中 $\omega$ 是样本点， $X(\omega)$ 是对应的数值。

例如抛一枚硬币，样本空间为：

\Omega=\{\text{正面}, \text{反面}\}

可以定义随机变量：

X= \begin{cases} 1, & \text{出现正面} \\ 0, & \text{出现反面} \end{cases}

这样，原来的“正面、反面”就变成了数字 $1,0$ 。

所以：

\boxed{\text{随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来}}

2. 一维随机变量#

如果一个随机变量只用一个数来描述结果，就叫一维随机变量。

例如：

随机试验	随机变量
掷一个骰子	$X = \text{掷出的点数}$
抽查产品	$X = \text{次品个数}$
等公交	$X = \text{等待时间}$
测量身高	$X = \text{某人的身高}$
射击	$X = \text{命中次数}$

这里的 $X$ 都是一个数，所以是一维随机变量。

3. 随机变量的分布#

随机变量的分布描述的是：

\boxed{\text{随机变量取不同数值的概率规律}}

比如掷骰子，令：

X=\text{掷出的点数}

那么：

P(X=1)=\frac{1}{6}

P(X=2)=\frac{1}{6}

一直到：

P(X=6)=\frac{1}{6}

这就是 $X$ 的分布。

4. 分布函数#

不管随机变量是离散型还是连续型，都可以用分布函数描述。

随机变量 $X$ 的分布函数定义为：

\boxed{F(x)=P(X\le x)}

它表示随机变量 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率。

例如：

F(3)=P(X\le 3)

意思是：

X \text{ 取值小于等于 3 的概率}

分布函数的性质#

性质一：单调不减#

如果 $x_1<x_2$ ，那么：

F(x_1)\le F(x_2)

因为 $X\le x_1$ 的范围一定包含在 $X\le x_2$ 里面。

性质二：取值范围在 0 到 1 之间#

0\le F(x)\le 1

因为它本质上是概率。

性质三：两端极限#

\lim_{x\to -\infty}F(x)=0

\lim_{x\to +\infty}F(x)=1

意思是：

当 $x$ 非常小时， $X\le x$ 几乎不可能发生；

当 $x$ 非常大时， $X\le x$ 几乎必然发生。

性质四：右连续#

分布函数总是右连续的：

F(x+0)=F(x)

这个性质考试中一般不会重点计算，但要知道。

5. 用分布函数求概率#

分布函数最重要的用法是求区间概率。

\boxed{P(a<X\le b)=F(b)-F(a)}

注意这里是 $a<X\le b$ ，左开右闭。

例如：

P(2<X\le 5)=F(5)-F(2)

还有：

P(X>b)=1-F(b)

因为：

P(X>b)=1-P(X\le b)

也就是：

P(X>b)=1-F(b)

6. 离散型随机变量#

如果随机变量只能取有限个或可列个值，就叫离散型随机变量。

例如：

掷骰子的点数；
抛硬币正面次数；
一批产品中的次品数；
某人一天收到的快递数。

这些值通常是一个一个分开的。

离散型随机变量的分布律#

若随机变量 $X$ 可能取 $x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$ ，并且：

P(X=x_i)=p_i

那么称：

\boxed{P(X=x_i)=p_i,\quad i=1,2,\dots}

为 $X$ 的分布律。

通常写成表格：

\begin{array}{c|cccc} X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \end{array}

分布律必须满足两个条件#

第一：

p_i\ge 0

第二：

\sum_i p_i=1

也就是说，每个概率不能为负，而且所有可能取值的概率加起来必须等于 1。

离散型随机变量例题#

掷一个均匀骰子，令：

X=\text{掷出的点数}

则 $X=1,2,3,4,5,6$ ，并且：

P(X=k)=\frac{1}{6},\quad k=1,2,3,4,5,6

分布律为：

\begin{array}{c|cccccc} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array}

离散型随机变量的分布函数#

对于离散型随机变量：

\boxed{F(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p_i}

也就是把所有不超过 $x$ 的取值概率加起来。

例如掷骰子：

F(3)=P(X\le 3)

=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}

7. 连续型随机变量#

如果随机变量可以在某个区间内连续取值，就叫连续型随机变量。

例如：

等车时间；
零件寿命；
身高；
温度；
误差。

这些变量不是一个一个孤立的值，而是在区间内连续变化。

概率密度函数#

对于连续型随机变量，不能像离散型那样直接列出 $P(X=x_i)$ ，因为连续型随机变量在某一个点上的概率通常为 0：

P(X=a)=0

所以连续型随机变量用概率密度函数表示，记作 $f(x)$ ，它满足：

f(x)\ge 0

并且：

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1

分布函数和密度函数的关系#

如果 $X$ 是连续型随机变量，密度函数为 $f(x)$ ，则：

\boxed{F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt}

反过来，如果 $F(x)$ 可导，则：

\boxed{f(x)=F'(x)}

连续型随机变量求区间概率#

对于连续型随机变量：

\boxed{P(a<X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx}

因为单点概率为 0，所以：

P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=P(a<X\le b)

它们都等于：

\int_a^b f(x)\,dx

这是连续型随机变量和离散型随机变量的重要区别。

8. 离散型和连续型的核心区别#

类型	概率怎么给	单点概率	求区间概率
离散型	分布律 $P(X=x_i)=p_i$	可能大于 0	概率相加
连续型	密度函数 $f(x)$	通常等于 0	积分求面积

简单记：

\boxed{\text{离散型靠“加”，连续型靠“积分”}}

9. 常见离散型分布#

9.1 两点分布#

如果随机变量 $X$ 只取 $0$ 和 $1$ ，并且：

P(X=1)=p

P(X=0)=1-p

则称 $X$ 服从两点分布，也叫 0-1 分布。

记作：

X\sim B(1,p)

例如一次射击：

X= \begin{cases} 1, & \text{命中} \\ 0, & \text{未命中} \end{cases}

若命中率是 $p$ ，则：

P(X=1)=p

P(X=0)=1-p

9.2 二项分布#

如果进行 $n$ 次独立重复试验，每次成功概率为 $p$ ，令：

X=\text{成功次数}

则：

X\sim B(n,p)

它的分布律为：

\boxed{P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\dots,n}

二项分布就是前面提到的伯努利概型对应的随机变量分布。

例如某人命中率为 $0.8$ ，独立射击 $5$ 次，令：

X=\text{命中次数}

则：

X\sim B(5,0.8)

恰好命中 $3$ 次：

P(X=3)=C_5^3(0.8)^3(0.2)^2

9.3 泊松分布#

如果随机变量 $X$ 表示某段时间、某个区域内某事件发生的次数，并且平均发生次数为 $\lambda$ ，则常用泊松分布。

记作：

X\sim P(\lambda)

分布律为：

\boxed{P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\dots}

例如：

某路口一分钟内通过的车辆数；
某商店一天内到店顾客数；
某机器一小时内故障次数；
某页书中的印刷错误数。

其中 $\lambda$ 表示平均发生次数。

10. 常见连续型分布#

10.1 均匀分布#

如果随机变量 $X$ 在区间 $[a,b]$ 上每个位置“机会均等”，则称 $X$ 服从均匀分布。

记作：

X\sim U(a,b)

其密度函数中的常数公式：

f(x)=\frac{1}{b-a}

来自于均匀分布的定义。

如果 $X\sim U(a,b)$ ，意思是说： $X$ 在区间 $[a,b]$ 上每一小段出现的可能性都一样。

所以它的概率密度函数 $f(x)$ 应该是一个常数，设为：

f(x)=c,\quad a\le x\le b

因为概率密度函数有一个基本要求：

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1

而 $X$ 只在 $[a,b]$ 上取值，在其他区域概率密度为 0，所以有：

\int_a^b c\,dx=1

计算积分可得：

c(b-a)=1 \implies c=\frac{1}{b-a}

因此，均匀分布的密度函数为：

f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

例如随机等待时间在 $0$ 到 $10$ 分钟之间均匀分布：

X\sim U(0,10)

则：

P(2<X<5)=\frac{5-2}{10-0}=\frac{3}{10}

10.2 指数分布#

如果随机变量 $X$ 表示“等待时间”或“寿命”，常用指数分布。

记作：

X\sim E(\lambda)

密度函数为：

f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\le 0 \end{cases}

分布函数为：

F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\le 0 \end{cases}

所以：

P(X>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}

指数分布常见于：

设备寿命；
等车时间；
服务系统中的等待时间。

10.3 正态分布#

正态分布是最重要的连续型分布之一。

若：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

则密度函数为：

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

其中 $\mu$ 控制中心位置， $\sigma$ 控制曲线离散程度。正态分布曲线呈钟形，关于 $x=\mu$ 对称。

常见例子：

身高；
测量误差；
考试成绩；
零件尺寸误差。

特别地，当 $\mu=0$ 且 $\sigma^2=1$ 时，称为标准正态分布：

X\sim N(0,1)

通常记作：

Z\sim N(0,1)

标准正态分布的计算与标准化#

在实际做题中，我们经常遇到一般的正态分布，此时需要用到标准化法。其核心思想是：将一般正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 转化为标准正态分布 $Z\sim N(0,1)$ ，再利用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x)$ 进行计算。

标准化公式#

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则：

Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)

典型简例#

设随机变量 $X\sim N(2,\sigma^2)$ ，且 $P(2<X<4)=0.3$ ，求 $P(X<0)$ 。

用文字描述就是：已知 $X$ 服从均值为 $2$ 、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，并且 $X$ 落在区间 $(2,4)$ 内的概率是 $0.3$ ，求 $X$ 小于 $0$ 的概率。

【解析】

第一步：标准化已知条件，求 $\Phi\left(\dfrac{2}{\sigma}\right)$

因为 $\mu=2$ ，我们对已知概率进行标准化转换：

\begin{aligned} P(2<X<4) &= P\left(\frac{2-2}{\sigma} < \frac{X-2}{\sigma} < \frac{4-2}{\sigma}\right) \\ &= P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) \end{aligned}

利用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示：

P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \Phi(0)

因为标准正态分布在原点处的分布函数值 $\Phi(0)=0.5$ ，所以：

0.3 = \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 0.5 \implies \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8

第二步：标准化待求概率，求 $P(X<0)$

同样地，对 $P(X<0)$ 进行标准化转换：

\begin{aligned} P(X<0) &= P\left(\frac{X-2}{\sigma} < \frac{0-2}{\sigma}\right) \\ &= P\left(Z < -\frac{2}{\sigma}\right) \end{aligned}

写成标准正态分布函数的形式：

P(X<0) = \Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)

利用标准正态分布的对称性质 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ ，可得：

\Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right)

将第一步求得的结果 $\Phi\left(\dfrac{2}{\sigma}\right) = 0.8$ 代入上式：

P(X<0) = 1 - 0.8 = 0.2

所以，最终答案为：

\boxed{0.2}

这个方法可以总结为：

\boxed{\text{先标准化，再用标准正态分布函数 } \Phi(x) \text{ 计算}}

11. 随机变量函数的分布#

有时题目不是直接问 $X$ 的分布，而是问：

Y=g(X)

的分布。这叫做随机变量函数的分布。

离散型情况#

如果 $X$ 是离散型随机变量，可以直接代入。

例如：

\begin{array}{c|ccc} X & -1 & 0 & 2 \\ \hline P & 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{array}

令：

Y=X^2

则：

$X=-1 \Rightarrow Y=1$
$X=0 \Rightarrow Y=0$
$X=2 \Rightarrow Y=4$

所以：

\begin{array}{c|ccc} Y & 0 & 1 & 4 \\ \hline P & 0.3 & 0.2 & 0.5 \end{array}

如果不同的 $X$ 对应同一个 $Y$ ，要把概率合并。

连续型情况#

连续型随机变量函数的分布，常用分布函数法：

先写：

F_Y(y)=P(Y\le y)

再把 $Y=g(X)$ 代进去，转化成关于 $X$ 的不等式。

例如：

Y=2X+1

则：

\begin{aligned} F_Y(y)&=P(Y\le y) \\ &=P(2X+1\le y) \\ &=P\left(X\le \frac{y-1}{2}\right) \\ &=F_X\left(\frac{y-1}{2}\right) \end{aligned}

这类题的核心是：

\boxed{\text{先写分布函数，再化成 } X \text{ 的不等式}}

再来看一个经典的例题。

【例题】

设随机变量 $X$ 在区间 $(0,2)$ 上服从均匀分布，

Y=X^3

求：

(1) $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；

(2) $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$ 。

【解析】

因为：

X\sim U(0,2)

所以 $X$ 的密度函数为：

f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

又因为：

Y=X^3

当 $X\in(0,2)$ 时，有 $Y\in(0,8)$ 。

所以要求 $F_Y(y)$ ，需要分三段讨论：

第一段： $y<0$ #

因为 $Y=X^3>0$ ，所以：

P(Y\le y)=0

因此：

F_Y(y)=0,\quad y<0

第二段： $0\le y<8$ #

F_Y(y)=P(Y\le y)

因为 $Y=X^3$ ，所以：

F_Y(y)=P(X^3\le y)

两边开三次方：

F_Y(y)=P(X\le \sqrt[3]{y})

由于 $X$ 在 $(0,2)$ 上均匀分布，所以概率等于区间长度之比：

P(0<X\le \sqrt[3]{y}) = \frac{\sqrt[3]{y}-0}{2-0}

所以：

F_Y(y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{2},\quad 0\le y<8

第三段： $y\ge 8$ #

因为 $Y$ 最大到 $8$ ，所以当 $y\ge 8$ 时， $Y\le y$ 是必然事件：

P(Y\le y)=1

因此：

F_Y(y)=1,\quad y\ge 8

综上所述， $Y$ 的分布函数是：

F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0 \\[4pt] \dfrac{\sqrt[3]{y}}{2}, & 0\le y<8 \\[4pt] 1, & y\ge 8 \end{cases}

接下来求密度函数。连续型随机变量的密度函数是分布函数的导数：

f_Y(y)=F_Y'(y)

对中间这一段求导：

F_Y(y)=\frac{1}{2}y^{1/3}

可得：

f_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}y^{-2/3}

即：

f_Y(y)=\frac{1}{6y^{2/3}},\quad 0<y<8

其他地方密度为 0。

所以， $Y$ 的密度函数为：

f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{6y^{2/3}}, & 0<y<8 \\[4pt] 0, & \text{其他} \end{cases}

这题的关键就是：

\boxed{\text{先求 } F_Y(y)=P(Y\le y)\text{，再对 } F_Y(y)\text{ 求导得到 } f_Y(y)}

12. 本章常考题型#

题型一：由分布律求概率#

给你：

\begin{array}{c|cccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 \end{array}

求：

P(X\ge 2)

直接加：

\begin{aligned} P(X\ge 2)&=P(X=2)+P(X=3) \\ &=0.3+0.4 \\ &=0.7 \end{aligned}

题型二：由分布律求分布函数#

如果：

\begin{array}{c|ccc} X & 1 & 2 & 4 \\ \hline P & 0.2 & 0.5 & 0.3 \end{array}

则：

F(x)=P(X\le x)

所以：

F(x)= \begin{cases} 0, & x<1 \\ 0.2, & 1\le x<2 \\ 0.7, & 2\le x<4 \\ 1, & x\ge 4 \end{cases}

离散型随机变量的分布函数是阶梯函数。

题型三：由密度函数求常数#

如果：

f(x)= \begin{cases} cx, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

求 $c$ 。

因为密度函数总面积为 1：

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1

所以：

\begin{aligned} \int_0^2 cx\,dx&=1 \\ c\cdot \frac{x^2}{2}\bigg|_0^2&=1 \\ 2c&=1 \\ c&=\frac{1}{2} \end{aligned}

题型四：由密度函数求概率#

仍设：

f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} x, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

求：

P(1<X<2)

则：

\begin{aligned} P(1<X<2)&=\int_1^2 \frac{1}{2} x\,dx \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{1}{4}(4-1) \\ &=\frac{3}{4} \end{aligned}

题型五：由密度函数求分布函数#

已知：

f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

求 $F(x)$ 。

分段讨论：

当 $x\le 0$ 时：

F(x)=0

当 $0<x<1$ 时：

F(x)=\int_0^x 2t\,dt=x^2

当 $x\ge 1$ 时：

F(x)=1

所以：

F(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0 \\ x^2, & 0<x<1 \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}

13. 易错点总结#

易错点一：随机变量不是变量，而是函数#

随机变量 $X$ 是从样本空间到实数的映射。不过初学时可以先把它理解成“随机取值的数”。

易错点二：分布函数永远是 $P(X\le x)$ #

不是 $P(X=x)$ ，而是 $P(X\le x)$ ，这个一定要分清。

易错点三：离散型有单点概率，连续型单点概率为 0#

离散型 $P(X=a)$ 可能大于 0。

连续型 $P(X=a)=0$ 。

所以连续型中：

P(a<X<b)=P(a\le X\le b)

端点有没有等号不影响结果。

易错点四：密度函数值不是概率#

对于连续型随机变量， $f(2)$ 不是 $P(X=2)$ 。密度函数下面的面积才是概率：

P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx

易错点五：分布函数是累积概率#

分布函数 $F(x)$ 表示从左边一直累积到 $x$ 的概率，所以它一定不会下降。

14. 本章公式总结#

内容	公式
分布函数	$F(x)=P(X\le x)$
区间概率	$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$
右尾概率	$P(X>x)=1-F(x)$
离散型分布律	$P(X=x_i)=p_i$
离散型分布函数	$F(x)=\sum_{x_i\le x}p_i$
连续型分布函数	$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
连续型区间概率	$P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx$
密度函数求总概率	$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$
密度与分布函数关系	$f(x)=F'(x)$