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随机事件及其概率

2026-06-18 12:32:52

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本文按“概念 → 公式 → 例题”的顺序梳理随机事件及其概率。这一章是概率论的基础，重点回答三个问题：什么是事件，事件之间如何运算，概率如何计算。

1. 随机试验、样本空间、随机事件#

概率论研究的是带有不确定性的试验，例如：

抛一枚硬币、掷一个骰子、抽一张牌、检测一件产品是否合格。

这类试验通常有三个特点：

可以在相同条件下重复进行；
每次试验结果不止一种；
试验前不能确定具体结果，但能知道所有可能结果。

这种试验叫做随机试验。

样本点#

随机试验的每一个可能结果叫做样本点。

例如掷一个骰子，可能结果是：

1,2,3,4,5,6

每个结果就是一个样本点。

样本空间#

所有样本点组成的集合叫做样本空间，通常记为：

\Omega

例如掷一个骰子：

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

随机事件#

样本空间的子集叫做随机事件，通常用大写字母表示，如 $A,B,C$ 。

例如：

事件 $A$ ：掷出偶数。

A=\{2,4,6\}

事件 $B$ ：掷出的点数大于 4。

B=\{5,6\}

所以，事件本质上就是样本空间中的一个集合。

2. 必然事件、不可能事件、基本事件#

必然事件#

每次试验一定会发生的事件叫做必然事件，就是整个样本空间：

\Omega

例如掷骰子时，“掷出的点数小于 7”一定发生。

不可能事件#

永远不会发生的事件叫做不可能事件，记为：

\varnothing

例如掷普通骰子时，“掷出 8 点”不可能发生。

基本事件#

只含有一个样本点的事件叫做基本事件。

例如掷骰子时：

\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}

都是基本事件。

3. 事件之间的关系#

因为事件是集合，所以事件关系本质上就是集合关系。

包含关系#

如果事件 $A$ 发生一定导致事件 $B$ 发生，则称 $A$ 包含于 $B$ ，记作：

A \subset B

例如：

A=\{6\}, \quad B=\{2,4,6\}

若掷出 6，则一定是偶数，所以：

A \subset B

相等事件#

如果两个事件包含相同的样本点，则它们相等：

A=B

互斥事件#

如果两个事件不能同时发生，称它们互斥，也叫不相容。

A \cap B = \varnothing

例如掷骰子：

A=\{1,3,5\}

表示奇数；

B=\{2,4,6\}

表示偶数。

奇数和偶数不能同时发生，所以 $A$ 与 $B$ 互斥。

对立事件#

如果两个事件互斥，并且合起来是整个样本空间，那么它们互为对立事件。

事件 $A$ 的对立事件记为：

\overline{A}

满足：

A \cap \overline{A}=\varnothing

A \cup \overline{A}=\Omega

例如掷骰子中，若：

A=\{2,4,6\}

表示“掷出偶数”，那么：

\overline{A}=\{1,3,5\}

表示“没有掷出偶数”，也就是“掷出奇数”。

注意：对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。

4. 事件的运算#

并事件#

事件 $A$ 与事件 $B$ 至少有一个发生，记作：

A \cup B

例如：

A=\{1,2,3\}, \quad B=\{3,4,5\}

则：

A \cup B=\{1,2,3,4,5\}

交事件#

事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生，记作：

A \cap B

例如：

A=\{1,2,3\}, \quad B=\{3,4,5\}

则：

A \cap B=\{3\}

差事件#

事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生，记作：

A-B

也可以写成：

A\cap \overline{B}

例如：

A=\{1,2,3\}, \quad B=\{3,4,5\}

则：

A-B=\{1,2\}

对立事件#

事件 $A$ 不发生，记为：

\overline{A}

若：

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

A=\{2,4,6\}

则：

\overline{A}=\{1,3,5\}

5. 概率的定义#

概率是用来描述事件发生可能性大小的数。

事件 $A$ 的概率记为：

P(A)

概率满足：

0 \le P(A) \le 1

其中：

P(\Omega)=1

P(\varnothing)=0

也就是说，必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0。

6. 古典概型#

古典概型是这一章最常考的内容之一。

它满足两个条件：

样本空间中样本点个数有限；
每个基本事件发生的可能性相等。

如果事件 $A$ 包含 $m$ 个样本点，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，则：

P(A)=\frac{m}{n}

例如掷一个均匀骰子，求掷出偶数的概率。

样本空间：

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

事件：

A=\{2,4,6\}

所以：

P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

古典概型的关键是：数清楚总情况数和有利情况数。

7. 概率的基本性质#

性质一：非负性#

P(A)\ge 0

任何事件的概率都不能为负数。

性质二：规范性#

P(\Omega)=1

整个样本空间一定发生。

性质三：有限可加性#

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

例如掷骰子：

A=\{1\}, \quad B=\{2\}

两者不能同时发生，所以：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}

8. 加法公式#

如果 $A$ 和 $B$ 不一定互斥，则：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

这个公式非常重要。

为什么要减去 $P(A\cap B)$ ？

因为 $P(A)+P(B)$ 中，公共部分 $A\cap B$ 被重复计算了一次，所以要减掉一次。

例如一副 52 张扑克牌中，随机抽一张，求“抽到红牌或 K”的概率。

设：

A=\text{抽到红牌}

B=\text{抽到K}

则：

P(A)=\frac{26}{52}

P(B)=\frac{4}{52}

红色 K 有 2 张，所以：

P(A\cap B)=\frac{2}{52}

因此：

P(A\cup B)=\frac{26}{52}+\frac{4}{52}-\frac{2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}

9. 减法公式#

减法公式用来计算：

事件 $A$ 发生，但事件 $B$ 不发生。

也就是事件差：

A-B=A\cap \overline{B}

公式是：

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

也可以写成：

P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)

怎么理解？

事件 $A$ 可以分成两部分：

A=(A\cap B)\cup(A\cap \overline{B})

也就是：

A=(A\text{ 和 }B\text{ 都发生})\cup(A\text{ 发生但 }B\text{ 不发生})

这两部分互斥，所以：

P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})

移项得到：

P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)

例如掷一个骰子。

设：

A=\{2,4,6\}

表示“掷出偶数”。

设：

B=\{4,5,6\}

表示“点数大于 3”。

那么：

A-B=\{2\}

表示“掷出偶数，但点数不大于 3”。

根据减法公式：

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

其中：

P(A)=\frac{3}{6}

A\cap B=\{4,6\}

P(A\cap B)=\frac{2}{6}

所以：

P(A-B)=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}

常见变形：

P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)

P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)

对立事件公式：

P(\overline{A})=1-P(A)

也可以看成减法公式的特殊情况。

加法公式和减法公式可以放在一起记：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

并集要加两个事件，再减去重复部分；

差集要从 $A$ 中减去 $A$ 和 $B$ 的公共部分。

10. 对立事件概率公式#

对立事件公式：

P(\overline{A})=1-P(A)

这个公式经常用于“至少”“至多”问题。

例如掷一枚硬币 3 次，求至少出现一次正面的概率。

直接算“至少一次正面”比较麻烦，可以算它的对立事件：

\text{至少一次正面} \quad \text{的对立事件是} \quad \text{一次正面都没有}

也就是 3 次全是反面。

总情况数：

2^3=8

全是反面只有 1 种情况：

TTT

所以：

P(\text{一次正面都没有})=\frac{1}{8}

因此：

P(\text{至少一次正面})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

遇到“至少有一个”“至少成功一次”“至少抽到一个”这类题，优先考虑对立事件。

11. 条件概率#

条件概率表示：在事件 $B$ 已经发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率。

记作：

P(A\mid B)

公式是：

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0

例如掷一个骰子，已知掷出的点数是偶数，求它是 6 的概率。

设：

A=\{6\}

B=\{2,4,6\}

则：

A\cap B=\{6\}

所以：

\begin{aligned} P(A\mid B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \\ &=\frac{1/6}{3/6} \\ &=\frac{1}{3} \end{aligned}

直观理解：既然已经知道结果是偶数，那么样本空间被缩小成：

\{2,4,6\}

在这三个结果中，只有一个是 6，所以概率是：

\frac{1}{3}

12. 乘法公式#

由条件概率公式可以得到乘法公式：

P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

也可以写成：

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

这个公式用来求“两个事件同时发生”的概率。

例如袋中有 5 个红球、3 个白球，不放回地连续取两次，求两次都取到红球的概率。

第一次取红球概率：

\frac{5}{8}

第一次取到红球后，袋中剩下 4 个红球、3 个白球，共 7 个球。

第二次再取红球的概率：

\frac{4}{7}

所以：

P(\text{两次红球})=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{5}{14}

13. 独立事件#

如果事件 $A$ 是否发生不影响事件 $B$ 的发生概率，则称 $A$ 与 $B$ 独立。

数学定义是：

P(A\cap B)=P(A)P(B)

等价地，当 $P(B)>0$ 时：

P(A\mid B)=P(A)

例如连续抛两次硬币：

事件 $A$ ：第一次正面；

事件 $B$ ：第二次正面。

第一次的结果不影响第二次，所以 $A$ 与 $B$ 独立。

因此：

P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

注意区分：

互斥表示两个事件不能同时发生；

独立表示一个事件的发生不影响另一个事件的概率。

一般情况下，两个非零概率事件如果互斥，就不独立。

14. 伯努利概型#

如果一个随机试验只有两种结果：

A \quad \text{和} \quad \overline{A}

也就是“成功”和“失败”，并且每次试验中：

P(A)=p,\qquad P(\overline{A})=1-p=q

那么这种试验叫做伯努利试验。

例如：

抛一次硬币，结果只有正面或反面；

射击一次，结果只有命中或未命中；

检测一件产品，结果只有合格或不合格。

n 重伯努利试验#

如果把同一个伯努利试验独立重复进行 $n$ 次，并且每次成功概率都相同，都是 $p$ ，则称为 $n$ 重伯努利试验。

它有三个关键条件：

每次试验只有两种结果：成功或失败；
每次试验成功概率相同，都是 $p$ ；
各次试验相互独立。

恰好成功 k 次#

在 $n$ 重伯努利试验中，设 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为：

P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,2,\dots,n

其中 $C_n^k$ 表示从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功的位置。

这个公式也叫二项分布公式。

为什么是这个公式？

某一种固定顺序下，恰好成功 $k$ 次、失败 $n-k$ 次的概率是：

p^k(1-p)^{n-k}

但是成功的 $k$ 次可以出现在 $n$ 次试验中的不同位置，共有 $C_n^k$ 种安排方式。

所以总概率为：

C_n^k p^k(1-p)^{n-k}

例题 1：恰好命中 3 次#

某人每次射击命中率为 $0.8$ ，独立射击 5 次，求恰好命中 3 次的概率。

这是 $n=5$ ， $p=0.8$ ， $k=3$ 。

\begin{aligned} P(X=3)&=C_5^3(0.8)^3(0.2)^2 \\ &=10\times0.512\times0.04 \\ &=0.2048 \end{aligned}

所以恰好命中 3 次的概率是 $0.2048$ 。

例题 2：至少成功一次#

某设备一次启动成功的概率为 $0.9$ ，独立启动 4 次，求至少成功一次的概率。

“至少成功一次”的对立事件是“4 次都失败”。

失败概率是：

1-0.9=0.1

所以：

\begin{aligned} P(\text{至少成功一次})&=1-P(\text{4 次都失败}) \\ &=1-(0.1)^4 \\ &=1-0.0001 \\ &=0.9999 \end{aligned}

例题 3：至少成功 k 次#

某人每次答题答对概率为 $0.6$ ，独立答 5 题，求至少答对 3 题的概率。

设 $X$ 表示答对题数，则：

X\sim B(5,0.6)

要求：

P(X\ge 3)

也就是：

P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

所以：

\begin{aligned} P(X\ge 3) &=C_5^3(0.6)^3(0.4)^2+C_5^4(0.6)^4(0.4)+C_5^5(0.6)^5 \\ &=10\times0.216\times0.16+5\times0.1296\times0.4+1\times0.07776 \\ &=0.3456+0.2592+0.07776 \\ &=0.68256 \end{aligned}

伯努利概型常见关键词#

关键词	可能对应
独立重复	$n$ 重伯努利试验
每次成功概率相同	成功概率 $p$ 不变
恰好成功 $k$ 次	$C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$
至少成功一次	常用对立事件
至少成功 $k$ 次	从 $k$ 加到 $n$
至多成功 $k$ 次	从 $0$ 加到 $k$

伯努利概型和古典概型的区别#

概型	核心特点	常用公式
古典概型	有限个等可能结果	$P(A)=\frac{m}{n}$
伯努利概型	独立重复，只有成功/失败两类结果	$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$

古典概型强调的是：所有基本事件等可能。

伯努利概型强调的是：同一试验独立重复多次，每次只有成功和失败两种结果。

15. 全概率公式#

如果事件 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 构成样本空间的一个划分，也就是：

B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n=\Omega

并且它们两两互斥，则对于任意事件 $A$ ，有：

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)

通俗理解：如果 $A$ 可以通过多种路径发生，那么就把每条路径的概率加起来。

例如某产品来自甲、乙两个工厂。

甲厂生产 60%，次品率 2%；乙厂生产 40%，次品率 5%。随机抽一个产品，求它是次品的概率。

设：

B_1=\text{来自甲厂}

B_2=\text{来自乙厂}

A=\text{次品}

则：

P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)

P(A)=0.6\times0.02+0.4\times0.05

P(A)=0.012+0.020=0.032

所以次品概率是：

3.2\%

16. 贝叶斯公式#

贝叶斯公式用于“由结果反推原因”。

公式是：

P(B_i\mid A)= \frac{P(B_i)P(A\mid B_i)} {\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A\mid B_j)}

它本质上就是：

\text{贝叶斯公式}= \frac{\text{某一条路径的概率}}{\text{所有能导致结果的路径概率之和}}

设 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 是所有可能原因，并且它们互斥、完整；设 $A$ 是最终发生的结果。

第一步，用乘法公式算某一条路径：

B_i \rightarrow A

这条路径对应的概率是：

P(B_i\cap A)=P(B_i)P(A\mid B_i)

也就是：

\text{路径概率}=\text{原因概率}\times\text{该原因下结果发生的概率}

第二步，用全概率公式算结果 $A$ 的总概率：

P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)+\cdots+P(B_n)P(A\mid B_n)

也就是把所有能导致 $A$ 的路径概率加起来。

第三步，已知结果 $A$ 已经发生，问它来自某个原因 $B_i$ 的概率：

P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i\cap A)}{P(A)}

把分子用乘法公式展开，把分母用全概率公式展开，就得到：

P(B_i\mid A)= \frac{P(B_i)P(A\mid B_i)} {P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)+\cdots+P(B_n)P(A\mid B_n)}

所以贝叶斯公式可以理解为：

\frac{\text{指定路径}}{\text{全部路径}}

还是用刚才的例子。

甲厂生产 60%，次品率 2%；乙厂生产 40%，次品率 5%。已知抽到的是次品，求它来自乙厂的概率。

要求：

P(B_2\mid A)

根据贝叶斯公式：

P(B_2\mid A)= \frac{P(B_2)P(A\mid B_2)} {P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)}

代入：

P(B_2\mid A)= \frac{0.4\times0.05} {0.6\times0.02+0.4\times0.05}

P(B_2\mid A)= \frac{0.020}{0.032}=0.625

所以，已知产品是次品，它来自乙厂的概率是：

62.5\%

做题时可以这样写：

P(\text{原因}_i\mid \text{结果})= \frac{ P(\text{原因}_i)P(\text{结果}\mid \text{原因}_i) }{ \sum P(\text{原因})P(\text{结果}\mid \text{原因}) }

记住三句话：

乘法公式算一条路径；
全概率公式算所有路径；
贝叶斯公式就是指定路径占所有路径的比例。

17. 常见题型总结#

题型一：直接数样本点#

适合古典概型。

解题格式：

P(A)=\frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}

例如掷骰子、抽牌、排队、抽球。

题型二：用对立事件#

看到这些词要敏感：

“至少一次”“至少一个”“不全是”“至少成功一次”。

常用：

P(A)=1-P(\overline{A})

题型三：用加法公式#

看到“或”“至少满足一个条件”，考虑：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

若 $A, B$ 互斥，则直接：

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

题型四：用减法公式#

看到“ $A$ 发生但 $B$ 不发生”，考虑：

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

题型五：用乘法公式#

看到“同时发生”“连续发生”“先后发生”，考虑：

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

尤其是不放回抽样，后一次概率通常会变。

题型六：用全概率公式#

看到“来源不同”“路径不同”“情况分类”，考虑全概率公式。

题型七：用贝叶斯公式#

看到“已知结果，反推原因”，考虑贝叶斯公式。

题型八：用伯努利概型#

看到“独立重复”“每次成功概率相同”“恰好成功 $k$ 次”，考虑：

P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}

18. 易错点#

第一，互斥不等于独立。互斥是不能同时发生，独立是互不影响。

第二，对立事件不只是互斥，还要合起来等于全集。例如掷骰子中，“掷出 1”和“掷出 2”互斥，但不是对立，因为还有 3、4、5、6。

第三，条件概率会改变样本空间。已知某事件发生后，后续概率要在新的范围内计算。

第四，不放回抽样和放回抽样不同。放回：每次概率不变。不放回：后一次概率通常改变。

第五，“或”通常对应并集，“且”通常对应交集。做题时先把文字翻译成集合符号。

第六，差事件要看清楚谁减谁。 $A-B$ 表示 $A$ 发生但 $B$ 不发生，不是 $B$ 发生但 $A$ 不发生。

第七，伯努利概型必须满足独立重复和成功概率不变。如果每次成功概率会变化，就不能直接套二项分布公式。

19. 一套记忆框架#

这一章可以用一句话概括：

先把随机试验写成样本空间，再把问题写成事件，最后根据事件关系选择公式。

做题步骤：

写出样本空间 $\Omega$ ；
定义事件 $A, B, C$ ；
判断事件关系：互斥、对立、独立、条件；
选择公式；
代入计算。

20. 本章核心公式表#

内容	公式
古典概型	$P(A)=\frac{m}{n}$
对立事件	$P(\overline{A})=1-P(A)$
加法公式	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
互斥事件加法	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
减法公式	$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$
条件概率	$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
乘法公式	$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$
独立事件	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
伯努利概型	$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$
全概率公式	$P(A)=\sum P(B_i)P(A\mid B_i)$
贝叶斯公式	$P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum P(B_j)P(A\mid B_j)}$