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黎明
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概率论与数理统计常考公式汇总
2026-06-25 10:33:06
概率论
概率论
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数理统计
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数字特征
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统计量
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抽样分布
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公式汇总

在概率论与数理统计的学习与考试中，数字特征、常用统计量以及正态总体下的抽样分布是核心考点。为了便于复习与快速记忆，本文将这些常考公式与常见分布特征进行系统梳理与汇总。

一、核心公式速查与记忆口诀#

1. 期望、方差、协方差、相关系数、和差公式记忆表#

项目公式记忆方法
E(X)E(X)∑xipi\sum x_i p_i每个取值乘以对应概率，再相加
E(Y)E(Y)∑yipi\sum y_i p_i同理
D(X)D(X)E(X2)−[E(X)]2E(X^2)-[E(X)]^2平方的期望减去期望的平方
D(Y)D(Y)E(Y2)−[E(Y)]2E(Y^2)-[E(Y)]^2同理
Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X,Y)E(XY)−E(X)E(Y)E(XY)-E(X)E(Y)乘积的期望减去期望的乘积
ρXY\rho_{XY}Cov⁡(X,Y)D(X)D(Y)\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}协方差除以各自标准差的乘积
E(X+Y)E(X+Y)E(X)+E(Y)E(X)+E(Y)期望可直接拆分
E(X−Y)E(X-Y)E(X)−E(Y)E(X)-E(Y)期望跟着符号走
D(X+Y)D(X+Y)D(X)+D(Y)+2Cov⁡(X,Y)D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)方差相加，协方差看符号
D(X−Y)D(X-Y)D(X)+D(Y)−2Cov⁡(X,Y)D(X)+D(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)减法时协方差前面是负号

2. 最核心的 5 个公式#

D(X)=E(X2)−[E(X)]2D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2D(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)ρXY=Cov⁡(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov⁡(X,Y)D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\operatorname{Cov}(X,Y)

3. 记忆口诀#

期望看符号，方差都相加，协方差决定加减。

具体而言：

E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov⁡(X,Y)D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\operatorname{Cov}(X,Y)

二、基本定义与计算公式#

设随机变量为 XX、YY：

1. 数学期望#

离散型#

E(X)=∑xipi,E(Y)=∑yipiE(X)=\sum x_i p_i, \quad E(Y)=\sum y_i p_i

连续型#

E(X)=∫−∞+∞xfX(x) dx,E(Y)=∫−∞+∞yfY(y) dyE(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x)\,dx, \quad E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y)\,dy

2. 方差#

D(X)=E[(X−E(X))2],D(Y)=E[(Y−E(Y))2]D(X)=E[(X-E(X))^2], \quad D(Y)=E[(Y-E(Y))^2]

常用计算公式（黄金公式）#

D(X)=E(X2)−[E(X)]2,D(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, \quad D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2

3. 协方差#

Cov⁡(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

常用计算公式#

Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

4. 相关系数 ρXY\rho_{XY}#

定义式#

ρXY=Cov⁡(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}

核心性质#

  1. 取值范围：−1≤ρXY≤1-1 \le \rho_{XY} \le 1。
  2. 不相关：ρXY=0  ⟺  Cov⁡(X,Y)=0\rho_{XY} = 0 \iff \operatorname{Cov}(X,Y) = 0，表示两者不存在线性相关关系。
  3. 完全线性相关：∣ρXY∣=1|\rho_{XY}| = 1。当且仅当存在常数 a,b (a≠0)a, b \ (a \ne 0) 使得 P(Y=aX+b)=1P(Y = aX + b) = 1。
    • ρXY=1\rho_{XY} = 1 时，a>0a > 0（完全正线性相关）；
    • ρXY=−1\rho_{XY} = -1 时，a<0a < 0（完全负线性相关）。

5. 离散型二维分布常用写法#

如果已知联合概率 P(X=xi,Y=yj)=pijP(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}，则对应的期望和协方差计算式为：

E(X)=∑i∑jxipij,E(Y)=∑i∑jyjpijE(X)=\sum_i \sum_j x_i p_{ij}, \quad E(Y)=\sum_i \sum_j y_j p_{ij}E(XY)=∑i∑jxiyjpijE(XY)=\sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij}Cov⁡(X,Y)=∑i∑jxiyjpij−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X,Y)=\sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij}-E(X)E(Y)

三、和差性质与独立性讨论#

1. 和差性质#

数学期望满足线性性质：

E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)

(注意：数学期望的线性性质对任意随机变量均成立，不需要 XX 和 YY 相互独立。)

方差的和差计算式：

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov⁡(X,Y)D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\operatorname{Cov}(X,Y)

2. 独立时的特殊情况#

如果随机变量 XX 和 YY 相互独立，由于此时 Cov⁡(X,Y)=0,ρXY=0\operatorname{Cov}(X,Y)=0, \rho_{XY} = 0，上述公式化简为：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X−Y)=D(X)+D(Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)

注意：即使是 X−YX-Y，在独立时其方差项之间也是加号，决不能写成减号。

四、常见分布特征速查表#

1. 常见离散型分布#

分布名称记号分布律 P(X=k)P(X = k)数学期望 E(X)E(X)方差 D(X)D(X)
0-1 分布-pk(1−p)1−k,k=0,1p^k (1-p)^{1-k}, \quad k = 0, 1ppp(1−p)p(1-p)
二项分布X∼B(n,p)X \sim B(n, p)Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,…,nC_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, nnpnpnp(1−p)np(1-p)
泊松分布X∼P(λ)X \sim P(\lambda)λke−λk!,k=0,1,2,…\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dotsλ\lambdaλ\lambda
几何分布-(1−p)k−1p,k=1,2,…(1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, \dots1p\dfrac{1}{p}1−pp2\dfrac{1-p}{p^2}

(注：其中 0<p<10 < p < 1，nn 为正整数，λ>0\lambda > 0)

2. 常见连续型分布#

分布名称记号概率密度函数 f(x)f(x)数学期望 E(X)E(X)方差 D(X)D(X)
均匀分布X∼U(a,b)X \sim U(a, b){1b−a,a≤x≤b0,其他\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}a+b2\dfrac{a+b}{2}(b−a)212\dfrac{(b-a)^2}{12}
指数分布X∼E(λ)X \sim E(\lambda){λe−λx,x≥00,x<0\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}1λ\dfrac{1}{\lambda}1λ2\dfrac{1}{\lambda^2}
正态分布X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)12πσe−(x−μ)22σ2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}μ\muσ2\sigma^2

(注：其中 λ>0\lambda > 0，σ>0\sigma > 0)

五、数理统计常用统计量#

1. 统计量的定义#

统计量是只由样本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n 构成的函数，不含任何未知参数。

2. 常用统计量计算公式与性质#

统计量名称记号与计算公式数学期望方差
样本均值Xˉ=1n∑i=1nXi\bar X = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_iE(Xˉ)=μE(\bar X) = \muD(Xˉ)=σ2nD(\bar X) = \dfrac{\sigma^2}{n}
样本方差S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2=1n−1(∑i=1nXi2−nXˉ2)S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = \dfrac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2-n\bar X^2\right)E(S2)=σ2E(S^2) = \sigma^2-
样本比例p^=Xn\hat p = \dfrac{X}{n} (成功次数 XX)E(p^)=pE(\hat p) = pD(p^)=p(1−p)nD(\hat p) = \dfrac{p(1-p)}{n}

(记忆法：样本均值的期望不变，方差除以 nn；样本方差用 n−1n-1，总体方差用 nn。)

六、抽样分布常用公式#

1. 常见抽样分布表#

分布类型适用条件/样本特征统计量与构造公式抽样分布/渐近分布
均值的抽样分布总体 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)Z=Xˉ−μσ/nZ = \dfrac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}N(0,1)N(0, 1)
中心极限定理nn 较大，任意总体（均值 μ\mu，方差 σ2\sigma^2）Z=Xˉ−μσ/nZ = \dfrac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}近似服从 N(0,1)N(0, 1)
比例的抽样分布nn 较大，二项总体 B(1,p)B(1, p)Z=p^−pp(1−p)nZ = \dfrac{\hat p - p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}近似服从 N(0,1)N(0, 1)
卡方分布X1,…,Xn∼N(μ,σ2)X_1, \dots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2) 独立同分布χ2=(n−1)S2σ2\chi^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}χ2(n−1)\chi^2(n-1)
t 分布X1,…,Xn∼N(μ,σ2)X_1, \dots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)，σ2\sigma^2 未知T=Xˉ−μS/nT = \dfrac{\bar X - \mu}{S / \sqrt{n}}t(n−1)t(n-1)
F 分布双正态总体，方差分别为 σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2F=S12/σ12S22/σ22F = \dfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}F(n1−1,n2−1)F(n_1-1, n_2-1)
F 分布（方差相等）双正态总体，且 σ12=σ22\sigma_1^2 = \sigma_2^2F=S12S22F = \dfrac{S_1^2}{S_2^2}F(n1−1,n2−1)F(n_1-1, n_2-1)

(注：其中 S2S^2 为样本方差，SS 为样本标准差，nn 为样本容量)

2. 核心记忆口诀#

均值找正态，方差找卡方；方差比找 F，未知方差找 t。

即映射关系为：

Xˉ→N,S2→χ2,S12S22→F,Xˉ−μS/n→t\bar X \rightarrow N, \quad S^2 \rightarrow \chi^2, \quad \frac{S_1^2}{S_2^2} \rightarrow F, \quad \frac{\bar X - \mu}{S / \sqrt{n}} \rightarrow t
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概率论与数理统计常考公式汇总
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作者
黎明
发布于
2026-06-25 10:33:06
许可协议
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